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| Promoción del SIDIM 2014 |
El próximo fin de semana, del 28 de febrero y 1ro de marzo, se llevará a cabo la conferencia Seminario Interuniversitario de Investigación en Ciencias Matemáticas 2014 (SIDIM) en la Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce. El SIDIM es la reunión más grande en Puerto Rico de profesores, estudiantes y público en general interesados en las ciencias matemáticas y en las enseñanza de las mismas. La actividad contarán con más de 40 presentaciones científicas y educativas, ademas de tres invitados/conferenciantes internacionales.
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| Presentación de Afiches SIDIM 2010 (UPR-Mayaguez) |
Uno de los conferenciantes plenarios lo será el Prof. James A. Yorke de la Universidad de Maryland en College Park. Para los que estamos interesados en el estudio del análisis no-lineal y sus aplicaciones esta es una visita/conferencia de gran interés. En mi caso, uno de los primeros artículos profesionales que leí en matemáticas fue su trabajo junto a Li publicado en The American Mathematical Monthly en 1975 titulado "Period three implies chaos". Este trabajo es acreditado como el primer estudio científico en utilizar el término "caos" en su sentido matemático.
Para muchos, el recuerdo más conocido de la Teoría del Caos es el la descripción de una mariposa que al agitar sus alas en Argentina desata un tornado en California. La idea parece una exageración, pero la posibilidad/probabilidad de tal suceso es real. Sorprendentemente, algo similar pasa en casi todos los aspectos de nuestras vidas, pequeños cambios podrían tener efectos totalmente inconmensurables a largo plazo. Informalmente esto quiere decir que en la teoría del caos los pequeños cambios en las condiciones iniciales producen grandes efectos en el futuro.
El fenómeno del caos no es algo nuevo en el mundo de las matemáticas, en 1860 James Clerk Maxwell , en sus investigaciones del movimiento de las moléculas de gas noto que en un sistema compuesto por dos partículas en colisión en una caja no tendrían movimiento de tipo (1) ni de tipo (2). Adicionalmente, observó que el comportamiento a largo plazo de sus trayectorias eran impredecibles para todos los efectos prácticos. Maxwell estuvo consciente de que cambios pequeños en el movimiento inicial de las partículas daría lugar a enormes cambios en la trayectorias de las moléculas. En 1890, Henri Poincaré estudió modelos del sistema solar simplificados compuesto solamente de tres cuerpos celestiales. Poincaré llegó a la conclusión de que las trayectorias de los tres cuerpos podrían ser a veces muy complicadas.
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| Las imágenes muestran los resultados de Poincare de los posibles trayectorias de un planeta que se mueve en el plano de un par de estrellas que están en una órbita elíptica perfecta. |
Para poder tener una discusión un poco más práctica, supongamos que xn es el nivel o tamaño de una población en la generación n. La función f modela el mecanismo de crecimiento de la población a través del tiempo basado en los niveles de la población en tiempos anteriores. Por ejemplo, considere el modelo xn = axn(1-xn), el cual se le conoce como el modelo logístico discreto en la teoría de dinámica poblacional. Donde xn es el nivel o tamaño de la población en la generacion n, la parte derecha de la ecuación nos describe el crecimiento de la población, note que la población decrece cuando la densidad poblacional aumenta. La constante a es la tasa de crecimiento intrínseca de la población. El lector puede encontrar más sobre este modelo en el artículo de Robert May, Simple Mathematical Models with very complicated dynamics (Nature, 1976).
Pensemos que el nivel inicial de la población es x0 = 0.02 y el valor de a = 2. Utilizando estos valores podemos calcular x1 = 0.039, así sucesivamente podríamos calcular el nivel de la población para las generaciones n = 2, 3,..... La tabla abajo muestra las primeras ocho iteraciones del proceso.
n
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xn
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f(xn)
= 2xn(1- xn)
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0
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0.02
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0.0392
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1
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0.0392
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0.075327
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2
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0.075327
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0.139305
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3
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0.139305
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0.239799
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4
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0.239799
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0.36459
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5
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0.36459
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0.463328
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6
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0.463328
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0.49731
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7
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0.49731
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0.499986
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8
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0.499986
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0.5
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Tabla 1
Gráficamente, la Tabla 1 se puede resumir en el siguiente diagrama:
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| Figura 1. Muestra las primera 40 iteracones de xn=2xn(1-xn) con valor inicial x0 = .02 Podemos probar que independientemente de las condiciones iniciales el sistema siempre convergerá al 0.05. |
Uno de los objetivos del estudio de los sistemas dinámicos es entender que tipo de comportamiento exhibe el sistema o el modelo. La evolución del proceso dinámico se refleja por la composición de la función f, tal como lo hemos visto en la Tabla 1 y en la figura 1. Al tomar la composición de la función f con ella misma k número de veces obtenemos el nivel de la población en la generación k, igualmente investigando el comportamiento del sistema cuando n se va infinito, podemos determinar cual es el comportamiento a largo plazo del sistema. Nos interesa saber si tal comportamiento es debido a las simplificaciones de las ecuaciones o si captura el comportamiento a pesar las simplificaciones.
Regresando al modelo logístico, algo interesante ocurre al cambiar la constante a por los valores 3.3 y por 3.5; encontramos la existencia soluciones periódicas con periodos 2 y 4, respectivamente. Las siguientes figura muestra la situación, tomando como condición inicial, x0=.45.
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| Figura 2. Cuando a = 3.3, el comportamiento del sistema cambia completamente transformándose de un sistema con un punto estacionario a un sistema con solución de periodo 2. |
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| Figura 3. Al continuar aumentando el valor de a el comportamiento del sistema sigue transformándose, en este caso cuando a = 3.5, el sistema tiene una solución e periodo 4. |
Para valores ligeramente más grandes de a, los puntos periódicos son significativamente más complicados a los mostrados en las Figura 1 y 2. Muchas nuevas órbitas periódicas entran en existencia cuando el valor de a aumenta de 3.45 a 4. La figura 4 muestra el comportamiento a largo plazo de las órbitas de los valores de a en el rango de 2.5 < a < 4.
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| Figura 4. Diagrama de Bifurcación del modelo logístico cuando 2.5 < a < 4. |
De la figura 4 podemos observar que, especialmente, si 3.81 < a < 3.86, el sistema tendrá como solución una órbita de periodo 3. El resultado de Li-Yorke sobre las funciones continuas es que la existencia de una órbita de periodo tres implica que el la función tiene órbitas periódicas para todos los periodos (para todos los números enteros). Esto garantiza que la función tiene un comportamiento dinámico bastante complicado. ¿Es este comportamiento lo que queremos decir con "el caos"? No exactamente. La existencia de infinitamente muchas órbitas periódicas no implica en sí misma el tipo de imprevisibilidad general
asociado con los sistemas caóticos, aunque sí insinúa en la diversa estructura en sus soluciones. El concepto de caos se identifica, usualmente, como un comportamiento o una órbita, no periódica que muestra dependencia sensible al cambio de condiciones iniciales y a los parámetros. Matemáticamente, una definición precisa del caos es que las órbitas se separan exponencialmente rápidas.
Esas fueron las palabras que yo escuche cuando terminaba mi segundo año de universidad....caos, bifurcación...y fueron las que me sedujeron al inexorable mundo del análisis no-lineal.
